策梅洛的ZF公理系统

    策梅洛得知这个情况之后，想着手处理这个难题。策梅洛认为，想要解决理发师悖论问题，就需要规范集合论。不能再是按照康托尔的朴素集合论那样简单的进行了。
    策梅洛对弗兰克尔说：“理发师的麻烦，摧毁了集合论，那集合公理化这个数学工程是没法做下去了。”
    弗兰克尔说：“这个问题确实棘手，但是貌似我们还是可以有办法的。”
    策梅洛说：“出现如此大的漏洞，不会那么容易有办法吧？”
    弗兰克尔说：“罗素说的理发师问题，这是一个定义上的问题。不是每个数学模型都会有如此儿戏般的定义。我们只要在集合公理上加上一条，不要用类似有理发师悖论的定义了。”
    策梅洛说：“废话，我还不知道吗？可问题有其他类型的悖论该怎么办？脆弱的集合论随时都会被各种古怪的话语所摧毁。”
    弗兰克尔说：“你都说，古怪的话语，我们只要不要让古怪的话语在其中出现，问题不就解决了？”
    策梅洛说：“如果做到这一点，难道是在其中设置一些限制，就像是法律规定一样，不要出现一些东西？”
    弗兰克尔说：“当然了，正是有太多怪东西，我们分类铲除不就可以了？”
    两个人商量着，根据前人的基础，创立了公理化集合论。其中有九条，这九条有了，任何集合公里都可以建立在这个基础上使用了。其中第二条，直接就排除掉了理发师悖论的问题。
    一，外延公理：一个集合是由其元素决定的。两个元素相等则集合相等。
    二，分离公理模式：一个公理元素对应的性质同时为真，才能是一个集合。
    三，配对公理：两个集合中任意两个元素配对后可以形成一个集合。
    四，并集公理：让两个集合元素加起来，形成一个新集合。
    五，幂集公理(子集之集公理)：存在以已知集合的一切子集为元素的集合。
    前五个集合，消除了可能会出现罗素理发师悖论的可能性。
    六，无穷公理：存在归纳集。也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。
    七，替换公理模式（置换公理）：也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在T中的时候，那么它的值域可限定在S中。
    八，正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。
    前八个是ZF公里，再加上第九个就变成ZFC公理。
    九，选择公理：也叫策梅洛公理，对于任意两两不交的集合族，存在集合C，使对所给的族中的每个集合X，集合X与C的交恰好只含一个元素。